4. 反常积分
单变量函数的积分学
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn
反常积分
1. 反常积分
1.1. 无穷区间上的积分
1.2. 瑕积分
1.3. 反常积分的换元与分部积分
1.4. 目录
例：
则
可以看到，函数的积分，借助最基本的极限方法，可以推广到区间无穷的情形。
无穷区间上的积分
定义 1. (无穷积分)
在上定义，且对任意，在上可积。若
存在有限，则称它为在上的无穷积分。记为
此时，称无穷积分收敛；否则称无穷积分发散。
类似地，上的无穷积分为
定义 2.
前面讨论过的在有界区间上对有界函数的Riemann积分，又称为常义积分。推广后的积分，称为反常积分。包含2类：
积分区间无限
被积函数无界
定义 3.
在上定义，且任何有界区间上可积。若
对收敛，则称
收敛。且
此时，称在上可积。若有至少一个发散，
则称发散
定理 1. (牛顿-莱布尼茨公式)
在上可积，且有原函数，则
其中，
现在，判断一个无穷积分是否收敛，需要计算积分，
然后研究这个值在时的极限。
后续会介绍一些判别方法来判定无穷积分是否收敛。这些方法只是根据函数自身的性质，
而不必先求积分。
瑕积分
定义 4. (瑕积分)
在上定义，且在的任意小邻域内无界，但，在上可积。若
存在有限，则称瑕积分收敛，记为
否则，称瑕积分发散。点称为积分的瑕点
为瑕点，则
均为瑕点，在内可积（无瑕点），
内有瑕点，则
定理 2.
若,均为瑕积分的瑕点，在区间上有原函数，则
其中
反常积分的换元与分部积分
定理 3.
设函数在上连续（可以是），函数是上的严格单调函数，连续且不为。且, ，则与同时敛散，且
结论对上的（反常）积分也适用。
换元公式可以将反常积分转换为常义积分，或者另一种形式的反常积分。
例 1. 对积分, ，做变量代换
则有
定理 4.
设, 在上连续可微（可以是），则有
其中
例 2. (第一类积分)
例 3.
例 4. ，为常数
例 5.
例 6. ，
例 7. (例4.7.6) (第二类积分)
例 8.
谢谢
在曲线上取两点和，其横坐标分别为与，
则两点的距离为
目录
1. 反常积分
1.1. 无穷区间上的积分
1.2. 瑕积分
1.3. 反常积分的换元与分部积分
1.4. 目录
本节读完
例 9. 谢
9.